已知函數(shù)，f(x)＝－1og2，求函數(shù)f(x)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性．

 

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力．

解題思路：用f(x)中代數(shù)式的意義確定函數(shù)的定義域，然后用奇偶性和單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．

因為x需滿足解之，得－1<x<1

所以函數(shù)的定義域為(－1，0)U(0，1)．

又∵f(－x)＝－－1og2＝－(－1og2)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù)．

在區(qū)間(0，1)內(nèi)，任取x1、x2∈(0，1)，且設(shè)x1<x2，則

f(x1)－f(x2)＝－1og2－＋1og2＝(－)＋[1og2．

由－>０，1og2(－1)－1og2(－1)>0，得f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減．

由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)在(－1，0)內(nèi)單調(diào)遞減．

評點：本題在判斷單調(diào)性的過程中，應(yīng)用了－個重要的結(jié)論，即奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．

 


練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)：f(x)＝x2＋bx＝c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，記函數(shù)f(x)滿足條件：的事件為A，則事件A發(fā)生的概率為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點P、Q滿足條件：

①P、Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；

②P、Q關(guān)于原點對稱．

則稱點對[P，Q]是函數(shù)Y＝f(x)的一對“友好點對”(點對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”)．已知函數(shù)，f(x)＝，則此函數(shù)的“友好點對”有

[　　]

A．0對

B．1對

C．2對

D．3對

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已知函數(shù)若f(x)＝2，則x＝________．

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已知函數(shù)　f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。根據(jù)函數(shù)f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，從而得到a≥e

f ′(x)＝＝，因為　f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．設(shè)φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，

 

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