Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，

①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

②比較與的大小;

（2）當(dāng)時(shí)，若對時(shí)，，且有唯一零點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）見解析

【解析】

（1）①把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

②令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

（2）由題意，，在上有唯一零點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得．

解：（1）①當(dāng)時(shí)，，，，

又，切線方程為，即；

②令，

則，

在上單調(diào)遞減．

又，

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即．

證明：（2）由題意，，

而，

令，解得．

，，

在上有唯一零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增．

．

在恒成立，且有唯一解，

，即，

消去，得，

即．

令，則，

在上恒成立，

在上單調(diào)遞減，

又， ，

．

在上單調(diào)遞增，

．