Question

【題目】函數(shù)f（x）=x3+sinx+2x的定義域為R，數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，且a1+a2+a3+a4+…a2015＜0，記m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（a2015），關(guān)于實數(shù)m，下列說法正確的是（　　）
A.m恒為負數(shù)
B.m恒為正數(shù)
C.當(dāng)d＞0時，m恒為正數(shù)；當(dāng)d＜0時，m恒為負數(shù)
D.當(dāng)d＞0時，m恒為負數(shù)；當(dāng)d＜0時，m恒為正數(shù)

Answer 1

【答案】A
【解析】∵函數(shù)f（x）=x3+2x+sinx的定義域為R、是奇函數(shù)，
且它的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+1+cosx≥0，故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
因為數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，分3種情況討論：
①當(dāng)d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，由a1+a2015＜0，
可得 a2015＜﹣a1 ， ∴f（a2015）＜f（﹣a1）=﹣f（a1），∴2f（a1008）=f（a1）+f（a2015）＜0．
同理可得，f（a2）+f（a2014）＜0，f（a3）+f（a2013）＜0，…
故 m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2014）
=f（a1）+f（a2015）+f（a2）+f（a2014）+f（a3）+f（a2013）+…+f（a1008）＜0．
②當(dāng)d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，同理求得 m＜0．
③當(dāng)d=0時，該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，每一項都小于，故有f（an）＜0，
綜上，有m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2014）+f（a2015）＜0，
故選A．
【考點精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的值是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．