Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a 1=

2

5

，且對任意n∈N⁺，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：Tn＜

4

15

．

Answer 1

分析：（1）對數(shù)列遞推式化簡，可得數(shù)列{

1

an

}是以

5

2

為首項(xiàng)，

3

2

為公差的等差數(shù)列，由此可得求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

，
∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

∴數(shù)列{

1

an

}是以

5

2

為首項(xiàng)，

3

2

為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=

5

2

+

3

2

(n-1)=

3n+2

2

∴an=

2

3n+2

；
（2）證明：bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

4

3

(

1

5

-

1

3n+5

)＜

4

15

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查不等式的證明，正確確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．