【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調性;

(Ⅲ)對于任意,,都有,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分類討論,詳見解析;(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)當時,求出可得切線的斜率,從而得到切線方程.

(Ⅱ)求出后就討論其符號后可得函數(shù)的單調區(qū)間.

(Ⅲ)就、、分類討論后可得的最大值和最小值,從而得到關于的不等式組,其解即為所求的取值范圍.

解:(Ⅰ)當時,因為

所以,.

又因為,

所以曲線在點處的切線方程為.

(Ⅱ)因為,

所以.

,解得.

,當時,

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為;

時,故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.

,則,

當且僅當時取等號,故函數(shù)上是增函數(shù).

,當時,

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為;

時,故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.

綜上,時,函數(shù)單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為;

時,函數(shù)單調遞增區(qū)間為;

時,函數(shù)單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.

(Ⅲ) 由題設,只要即可.

,解得.

時,隨變化, 變化情況如下表:

極小值

由表可知,此時 ,不符合題意.

時,隨變化, 變化情況如下表:

極大值

極小值

由表可得

,,

,所以只需,

,解得.

時,由(Ⅱ)知為增函數(shù),

此時,符合題意.

時,

同理只需,即 ,解得.

時,,,不符合題意.

綜上,實數(shù)的取值范圍是.

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2)推廣期結束后,商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計,結果如下表:

支付方式

現(xiàn)金

會員卡

掃碼

比例

商場規(guī)定:使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠,使用會員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠,掃碼支付的顧客隨機優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計結果得知,使用掃碼支付的顧客,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為.現(xiàn)有一名顧客購買了元的商品,根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來估計相應事件發(fā)生的概率,估計該顧客支付的平均費用是多少?

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