Question

4．已知函數$f（x）=\sqrt{2}sin（ωx+\frac{π}{4}）（ω＞0）$的最小正周期為π，下列四個判斷：
（1）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）的最小值為-1；
（2）函數f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{8}$對稱；
（3）函數f（x）的圖象可由$y=\sqrt{2}cos2x$的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度得到；
（4）函數f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上是減函數．
以上正確判斷的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出ω的值，求出f（x）的表達式，根據三角函數的性質分別判斷即可．

解答 解：（1）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時，
函數f（x）取得最小值$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
故（1）正確；
（2）∵函數f（x）的最小正周期為π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
對稱軸x=kπ+$\frac{π}{2}$=2x+$\frac{π}{4}$，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
故函數f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{8}$對稱，
故（2）正確；
（3）f（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{8}$）]是由函數y=$\sqrt{2}$sin2x向左平移$\frac{π}{8}$個單位得到，
故（3）錯誤；
（4）由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，
得：kπ+$\frac{π}{8}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{8}$，
故函數f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上是減函數，
故（4）正確；
故選：C．

點評 本題考查了三角函數的性質，考查函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．