Question

【題目】已知橢圓C： 過(guò)點(diǎn) ，左右焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

（I）求橢圓C方程；
（II）圓D： 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB上任一點(diǎn)，直線F1R交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若AB為圓D的直徑，且直線F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C過(guò)點(diǎn) ，
∴ ，①
∵橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴a=2c，
∵a2=b2+c2 ， ∴ ，②
由①②得a2=4，b2=3，
∴橢圓C的方程為 ．…
（Ⅱ）因?yàn)锳B為圓D的直徑，所以點(diǎn)D： 為線段AB的中點(diǎn)，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則， ，又 ，
所以 ，則（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故 ，
則直線AB的方程為 ，即 ，…
代入橢圓C的方程并整理得 ，則 ，
故直線F1R的斜率 ．
設(shè)F1R：y=k（x+1），由 ，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
設(shè)P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），則有 ， ．
又 ， ，…
所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|= ，
因?yàn)? ，所以 ，
即|PF1||QF1|的取值范圍是 ．
【解析】（I）將點(diǎn)代入橢圓方程，由函數(shù)的對(duì)稱性求得a=2c，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）由圓D，求得圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，求得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，求得F1R的斜率的取值范圍，則設(shè)F1R的方程y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及 ， ，即可求得|PF1||QF1|的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．