Question

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和
（Ⅰ）求點P的軌跡C；
（Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意，要求動點的軌跡方程，由于已經(jīng)告訴了動點所滿足的約束條件所以利用直接法求其軌跡即可：
（2）由題意及解析式畫出圖形，利用直線與曲線的軌跡方程聯(lián)立，通過圖形討論直線與軌跡的交點，利用兩點間的距離公式求解即可．

解答：解（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），由題設則d=4

(x-3)2+y2

+3︳x-2︳①由題意軌跡圖（1）如下：
（圖1）
當x＞2時，由①得

(x-3)2+y2

=6-

1

2

x，
化簡得

x2

36

+

y2

27

=1．
當x≤2時由①得

(3-x)2+y2

=3+x
化簡得y²=12x
故點P的軌跡C是橢圓C1：

x2

36

+

y2

27

=1在直線x=2的右側
部分與拋物線C₂：y²=12x在直線
x=2的左側部分（包括它與直線x=2
的交點）所組成的曲線，參見圖1
（Ⅱ）如圖2所示，
易知直線x=2與C₁，C₂的交點都是A（2，2

6

），
B（2，-2

6

），直線AF，BF的斜
率分別為k_AF=-2

6

，k_BF=2

6

．                       圖2
當點P在C₁上時，由②知|PF|=6-

1

2

x．④
當點P在C₂上時，由③知|PF|=3+x⑤
若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x-3）
（1）當k≤k_AF，或k≥k_BF，即k≤-2

6

時，直線I與軌跡C的兩個交點M（x₁，y₁），N（x_，y_）都在C₁上，此時由④知
|MF|=6-

1

2

x₁|NF|=6-

1

2

x_
從而|MN|=|MF|+|NF|=（6-

1

2

x₁）+（6-

1

2

x_）=12-

1

2

（x₁+x_）
由

y=k(x-3) x2 36 + y2 27 =1

得（3+4k²）x²-24k²x+36k²-108=0則x₁，x是這個方程的兩根，
所以x₁+x_=

24k2

3+4k2

*|MN|=12-

1

2

（x₁+x_）=12-

12k2

3+4k2

因為當k≤2

6

，或k≥2

6

時，k²≥24，|MN|=12-

12k2

3+4k2

=12-

12

1 k2 +4

=

100

11

．
當且僅當k=±2

6

時，等號成立．
（2）當kAE＜k＜kAN，-2

6

＜k＜2

6

時，直線L與軌跡C的兩個交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分別在C₁，C₂上，不妨設點M在C₁上，點C₂上，則④⑤知，|MF|=6-

1

2

x1，|NF|=3+x2
設直線AF與橢圓C₁的另一交點為E（x₀，y₀），則x₀＜x₁，x₂＜2.|MF|=6-

1

2

x1＜6-

1

2

x0=|EF|，|NF|=3+x2＜3+2=|AF|
所以|MN|=|MF|+|NF|＜|EF|+|AF|=|AE|．而點A，E都在C₁上，且kAE=-2

6

，有（1）知|AE|=

100

11

，所以|MN|＜

100

11

若直線ι的斜率不存在，則x₁=x₂=3，此時|MN|=12-

1

2

(x1+x2)=9＜

100

11

綜上所述，線段MN長度的最大值為

100

11

．

點評：（1）此問重點考查了直接法求動點的軌跡方程，還考查了對于含絕對值的式子化簡時的討論；
（2）此問重點考查了利用圖形抓住題目中的信息，分類討論的思想，還考查了圓錐曲線中的焦半徑公式（用點的一個坐標表示），還考查了兩點間的距離公式．