精英家教網(wǎng)如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩夾角為60°．
（1）求AC1的長；
（2）求BD1與AC夾角的余弦值．
分析：（1）設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，則兩兩夾角為60°，且模均為1．根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，我們易得
AC1
=
AC
+
CC1
=
a
+
b
+
c
．我們易根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則，求出|
AC1
|的模，即AC1的長；
（2）我們求出向量
BD1
，
AC
，然后代入向量夾角公式，即可求出BD1與AC夾角的余弦值．
解答：解：設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，則兩兩夾角為60°，且模均為1．
（1）
AC1
=
AC
+
CC1
=
AB
+
AD
+
AA1
=
a
+
b
+
c
．
∴|
AC1
|2=（
a
+
b
+
c
）2=|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2+2
a
•
b
+2
b
•
c
+2
a
•
c

=3+6×1×1×
1
2
=6，
∴|
AC1
|=
6
，即AC1的長為
6
．
（2）
BD1
=
BD
+
DD1
=
AD
-
AB
+
AA1
=
b
-
a
+
c
．
∴
BD1
•
AC
=（
b
-
a
+
c
）•（
a
+
b
）
=
a
•
b
-
a
2+
a
•
c
+
b
2-
a
•
b
+
b
•
c

=1．
|
BD1
|=
(
b
-
a
+
c
)2
=
2
，|
AC
|=
(
a
+
b
)2
=
3
，
∴cos＜
BD1
，
AC
＞=
BD1
•
AC
|
BD1
|•|
AC
|
=
1
2
×
3
=
6
6
．
∴BD1與AC夾角的余弦值為
6
6
．
點評：本題考查的知識點是空間兩點之間的距離運算，用空間向量求直線間的夾角，根據(jù)已知條件，構(gòu)造向量，將空間兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為向量模的運算，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，平行六面體ANCD-EFGH中，棱AB，AD，AE的長分別為3，4，5，∠EAD=∠EAB=∠DAB=120°，則AG的長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，底面ABCD是矩形，頂點D1在底面ABCD上的射影O恰好是CD的中點．
（I）求證：BO⊥AD1；
（II）若二面角D1-AB-D的大小為60°，求AD1與底面ABCD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，
（1）當(dāng)AA1=3，AB=2，AD=2，求AC1的長；
（2）當(dāng)?shù)酌鍭BCD是菱形時，求證：CC1⊥BD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆湖北省武漢市高二下期末理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

題滿分12分）

.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

（1）當(dāng)AA1＝3，AB＝2，AD＝2，求AC1的長；

（2）當(dāng)?shù)酌鍭BCD是菱形時，求證：

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州市蕭山區(qū)三校聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，平行六面體ANCD-EFGH中，棱AB，AD，AE的長分別為3，4，5，∠EAD=∠EAB=∠DAB=120°，則AG的長為    ．

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同步練習(xí)冊答案