Question

已知矩形，，點是的中點，將△沿折起到△的位置，使二面角是直二面角.


(1)證明：⊥面；
(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明見解析；(2).

解析試題分析：（1）一般是通過證明線面垂直得到線線垂直，即證明其中一條直線與另一條直線所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空間直角坐標系利用向量的一個運算求出兩個平面的法向量，進而求出二面角的余弦值.
試題解析：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．
又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’                 4分
(2)法一：設(shè)M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC
垂足為F，連接D’M，D'F,則D'M⊥EC.
∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC
∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：D'F⊥BC
∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．    8分
在Rt△D'MF中，,
,
∴二面角D’-BC—E的余弦值為                    12分，
法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系．

則
設(shè)平面BEC的法向量為；平面D'BC的法向量為
,
    取x₂=l
得
∴二面角D'-BC-E的余弦值為      12分
考點：1.用空間向量求平面間的夾角；2.直線與平面垂直的性質(zhì)