i+i2+i3+…+i2005=________.

i
分析:根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)看出要求的和式中每四項之和等于0,則用2005除以4得到余數(shù)是1,則要求的和式等于i2005,求解i2005即可得到結(jié)果.本題也可以運用推導等比數(shù)列的求和公式的方法,即錯位相減法求解.
解答:法一
∵i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
∴復數(shù)z=i+i2+i3+…+i2005
=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2001+i2002+i2003+i2004)+i2005
=i2005
=(i21002•i
=(-1)1002•i
=i.
所以i+i2+i3+…+i2005=i.
故答案為i.
法二
設S=i+i2+i3+…+i2005
等式兩邊同時乘以i得:
iS=i2+i3+…+i2006
①-②得:(1-i)S=i-i2006
所以,S=
=
=
=i.
故答案為i.
點評:本題考查虛數(shù)單位的性質(zhì)及其應用,訓練了實數(shù)運算中的錯位相減法在計算復數(shù)題中的運用,此題也可以運用等比數(shù)列求和公式求解,是基礎題.
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