在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為的直線,當(dāng)直線都與圓相切時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).

(1);(2)

解析試題分析:(1)圓心坐標(biāo)是已知的,故橢圓的焦點(diǎn)是已知的,從而半焦距已知了,又有離心率,故半長(zhǎng)軸長(zhǎng)也能求出,從而求出,而根據(jù)題意,橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,可其方程易得;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,再設(shè)一條切線的斜率為,則另一條切線的斜率為,三個(gè)未知數(shù)需要三個(gè)方程,點(diǎn)P在橢圓上,一個(gè)等式,兩條直線都圓的切線,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個(gè)等式,三個(gè)等量關(guān)系,三個(gè)未知數(shù)理論上可解了,當(dāng)然具體解題時(shí),可設(shè)切線斜率為,則點(diǎn)斜率式寫出直線方程,利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關(guān)于的方程,而是這個(gè)方程的兩解,由韋達(dá)定理得,這個(gè)結(jié)果又是,就列出了關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)方程,再由P點(diǎn)在橢圓上,可解出P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,所以,又,,而據(jù)題意橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,故其方程為.        4分
(2)設(shè),得
,依題意的距離為
整理得同理

是方程的兩實(shí)根    10分
       12分
       14分
     16分
考點(diǎn):(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)圓的切線.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,橢圓上一點(diǎn)M
滿足.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線L:y=與橢圓恒有不同交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的范圍.

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如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.

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已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為,求拋物線的方程.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A、B兩點(diǎn).
(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn),求·的值;
(2)如果·=-4,證明直線l必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

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已知圓,若焦點(diǎn)在軸上的橢圓 過點(diǎn),且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,與圓交于兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,求弦長(zhǎng);
(3)求面積的最大值.

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已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為,
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為直徑的圓上,求m的值.

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已知橢圓C:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng) 時(shí),求實(shí)數(shù)取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值.

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