Question

已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）過（-4，0）的直線l與圓M相切，且l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由給出的圓的方程判斷兩圓的位置關系，從而得到動圓P與圓M外切，與圓N內切，然后利用圓心距和半徑的關系得到P到M和P到N的距離之和為定值，符合橢圓定義，從而求得橢圓方程；
（2）設直線方程，由由l與圓M相切，求出k，再利用韋達定理，即可求|AB|．

解答： 解：（1）圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，
設動圓P半徑為R．
∵M在N內，∴動圓只能在N內與N內切，不能是N在動圓內，即：R＜3
動圓P與圓M外切，則PM=1+R，
動圓P與圓N內切，則PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值．
∴P是以M、N為焦點的橢圓．
∵MN的中點為原點，故橢圓中心在原點，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠-2）；
（2）設l：y=k（x+4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由l與圓M相切得

|3k|

1+k2

=1，∴k=±

2

4

，
k=

2

4

時，將y=

2

4

x+

2

代入橢圓，并整理得7x²+8x-8=0，
x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

18

7

，
k=-

2

4

時，由圖形的對稱性可知|AB|=

18

7

，
綜上，|AB|=

18

7

．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．