已知在三棱錐T-ABC中,TA,TB,TC兩兩垂直,T在地面ABC上的投影為D,給出下列命題:
①TA⊥BC,TB⊥AC,TC⊥AB;
②△ABC是銳角三角形;
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2
;
S2△ABC
=
1
3
(
S2△TAB
+
S2△TAC
+
S2△TBC
)
(注:S△ABC表示△ABC的面積)
其中正確的是______(寫出所有正確命題的編號).
對于①,TA,TB,TC兩兩垂直可得:TA⊥平面TBC,從而得出:TA⊥BC,同理得到TB⊥AC,TC⊥AB,故①正確;
②設TA=a;TB=b;TC=c,則AB2=a2+b2,同理BC2=c2+b2,Ac2=a2+c2,在三角形ABC中,由余弦定理得:cosA=
AB2+AC2-BC2
2AB×AC
=
a2+b2+a2+c2-c2-b2
2
a2+b2
a2+c2
=
a2
a2+b2
a2+c2
>0
,同理可證cosB>0,cosC>0,所以,)△ABC是銳角三角形.
③設TA=a;TB=b;TC=c,在直角三角形TBC中,得:TE=
bc
b2+c2
,
在三角形ABC中,有:AE=
a2b2+b2c2+c2a2
b2+c2

由于AE×TD=TA×TE
a2b2+b2c2+c2a2
b2+c2
×TD=a×
bc
b2+c2

∴a2b2c2=(a2b2+b2c2+c2a2)TD 2
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2
;成立
故③對
④:S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2.證明如下:
如圖作TE⊥CB于E,連AE,則AE⊥CB.
S△BCA2 =
1
4
BC2
•AE2 =
1
4
BC2
•(AT2+TE2)=
1
4
(TB2+TC2)(AT2+TE2
=
1
4
(TB2TC2 +TA2TC2+TA2TB2 )=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2,
故不對;
故答案為:①②③.
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