Question

設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；
（Ⅱ）令，（），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

略

解: （Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)時(shí)，，
（2′）令=0，
解得．（∵）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174509622329.gif" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。
所以的極大值為，此即為最大值        ………4分
（Ⅱ），，則有≤，在上恒成立，
所以≥，             
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥…            ……8分
（Ⅲ）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174510340501.gif" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，
所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，
則．令，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174510527372.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．
則既
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174510527372.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以（*）
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
是增函數(shù)，所以至多有一解．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174511276321.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以方程（*）的解為，即，解得 12分