Question

19．設p：函數(shù)f（x）=x³e^3ax在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增；q：函數(shù)g（x）=ax-$\frac{a}{x}$+2lnx在其定義域上存在極值．
（1）若p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p為真命題，則f'（x）=3x²e^3ax（1+ax）≥0對x∈（0，2]恒成立，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則命題p與q一真一假，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）因為f'（x）=3x²e^3ax+3ax³e^3ax=3x²e^3ax（1+ax），
所以f'（x）=3x²e^3ax（1+ax）≥0對x∈（0，2]恒成立，…（1分）
因為3x²e^3ax＞0，所以1+ax≥0對x∈（0，2]恒成立，…（3分）
所以$a≥{（{-\frac{1}{x}}）_{max}}=-\frac{1}{2}$，即a的取值范圍為$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$…（4分）
（2）對于$q，g（x）=ax-\frac{a}{x}+2lnx，g'（x）=a+\frac{a}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}+2x+a}}{x^2}$，…（5分）
若a≥0，g'（x）＞0，g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在其定義域上不存在極值，不符合題意；…（6分）
若a＜0，則$-\frac{1}{a}＞0$，由△=4-4a²＞0，解得-1＜a＜0．
所以，若q為真命題，則-1＜a＜0，…（8分）
因為“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，所以命題p與q一真一假，
①p真q假時，$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥0或a≤-1}\end{array}}\right.$，解得a≥0，
②p假q真時，$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{2}}\\{-1＜a＜0}\end{array}}\right.$，解得$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
綜上所述，a的取值范圍為$（{-1，-\frac{1}{2}}）∪[{0，+∞}）$…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，難度中檔．