Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，存在唯一的y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C為常數(shù)）成立．則稱函數(shù)f（x）在D上的“均值”為C．已知四個(gè)函數(shù)：①y=x³（x∈R）；②y=(

1

2

)x（x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=

x

上述四個(gè)函數(shù)中，滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)是

 

．（填入所有滿足條件函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，求各個(gè)函數(shù)的單調(diào)性與值域，從而確定函數(shù)是否滿足條件．

解答： 解：∵y=x³在R上是增函數(shù)，
且其值域?yàn)镽，
∴對(duì)?x∈R，若

f(x)+f(y)

2

=1，
則f（y）=2-f（x）有且只有一個(gè)y∈R成立；故①正確；
∵y=(

1

2

)x的值域?yàn)椋?，+∞），
∴若x＜-1，則f（y）=2-f（x）＜0，故沒有y∈R使之成立；
故②不正確；
∵y=lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽，
∴對(duì)?x∈R，f（y）=2-f（x）有且只有一個(gè)y∈R成立；故③正確；
∵y=

x

的值域?yàn)閇0，+∞），且單調(diào)遞增，
故當(dāng)x＞4時(shí)，則f（y）=2-f（x）＜0，故沒有y∈[0，+∞）使之成立；
故④不成立．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受能力及應(yīng)用能力，同時(shí)考查了函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．