(2005•靜安區(qū)一模)為了保護(hù)一件珍貴文物,博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體.假設(shè)博物館需要支付的總費用由兩部分組成:①罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米,且每立方米氣體費用1千元;②需支付一定的保險費用,且支付的保險費用與保護(hù)罩容積成反比,當(dāng)容積為2立方米時,支付的保險費用為8千元.
(1)求博物館支付總費用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求博物館支付總費用的最小值;
(3)(理)如果要求保護(hù)罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀,且保護(hù)罩底面(不計厚度)正方形邊長不得少于1.1米,高規(guī)定為2米.當(dāng)博物館需支付的總費用不超過8千元時,求保護(hù)罩底面積的最小值(結(jié)果保留一位小數(shù)).
分析:(1)由需要支付的總費用由兩部分組成,當(dāng)容積為2立方米時,支付的保險費用為8千元,可求比例系數(shù),從而可求支付總費用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)由(1)得:y=1000V+
16000
V
-500
利用基本不等式可求出當(dāng)且僅當(dāng)1000V=
16000
V
,博物館支付總費用的最小值;
(3)法1:由題意得不等式:V+
16
V
-0.5≤8
,分別求出當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時,當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時,最后根據(jù)底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,得出底面正方形的面積最小可取1.4平方米;
法2:先解方程8000=1000V+
16000
V
-500
,利用函數(shù)y=1000V+
16000
V
-500
的單調(diào)性求得底面正方形的面積最小可取1.4平方米;
法3:利用基本不等式可求最值,注意等號成立的條件.
解答:解::(1)y=1000(V-0.5)+
16000
V
=1000V+
16000
V
-500
(或y=V+
16
V
-0.5
)(V>0.5)(理4分,文6分)
(2)y=1000V+
16000
V
-500≥7500
(理8分,文12分)
當(dāng)且僅當(dāng)1000V=
16000
V
,即V=4立方米時不等式取得等號(理(10分),文15分)
所以,博物館支付總費用的最小值為7500元.                   (文16分)
(3)(理)解法1:由題意得不等式:V+
16
V
-0.5≤8
(理12分)
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時,V=
2
3
S
,代入整理得:4S2-51S+144≤0,解得4.22≈
51-3
33
8
≤S≤
51+3
33
8
≈8.53
;
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時,V=2S,代入整理得:4S2-17S+16≤0,解得1.41≈
8.5-
8.25
4
≤S≤
8.5+
8.25
4
≈2.84
(理15分)
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,所以,底面正方形的面積最小可取1.4平方米    (理16分)
解法2.解方程8000=1000V+
16000
V
-500
,即V2-8.5V+16=0得兩個根為V1=2.814,V2=5.686(理12分)
由于函數(shù)y=1000V+
16000
V
-500
在(0,4]上遞減,在[4,+∞)上遞增,所以當(dāng)V<V1時,總費用超過8000元,所以V取得最小值V1(理14分)
由于保護(hù)罩的高固定為2米,
所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱,正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的
1
3

所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時,保護(hù)罩底面積最小,S=
V1
h
=
2.814
2
≈1.4
m2            (理15分)
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,1.21<1.4,
所以,底面正方形的面積最小可取1.4平方米   (理16分)
解法3.解V+
16
V
-0.5≤8
(理12分)
2.8≈
8.5-
8.25
2
≤V≤
8.5+
8.25
2
≈5.7
(理14分)
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時,V=
2
3
S≥0.87
;
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時,V=2S≥2.42.
所以,保護(hù)罩容積可取最小V=2.8立方米,當(dāng)形狀為棱柱時底面正方形的面積最小,為1.4平方米  (理16分)
點評:本題主要考查函數(shù)模型的建立及最值問題的研究,應(yīng)注意基本不等式成立的條件.
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5
sin(θ+?)(-
π
2
<?<
π
2
)
,則?=
arccos
5
5
,或(arctan2)
arccos
5
5
,或(arctan2)
.(用反三角函數(shù)表示)

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arccos
1
4
arccos
1
4
(用反三角函數(shù)表示).

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