Question

動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F（1，0）的距離和它到直線l：x=-1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C₁．圓C₂的圓心T是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，圓C₂與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（a，0）（a＞2），若點(diǎn)A到點(diǎn)T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意，得|PF|=|x+1|，
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，（2分）
化簡(jiǎn)得：y²=4x，
∴曲線C₁的方程為y²=4x．（4分）
（2分）
∴曲線C₁的方程為y²=4x．（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x₀，y₀），圓C₂的半徑為r，
∵點(diǎn)T是拋物線C₁：y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，
∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．
∴|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

（6分）
=

x 20 -2ax0+a2+4x0

=

[x0-(a-2)]2+4a-4

．
∵a＞2，∴a-2＞0，則當(dāng)x₀=a-2時(shí)，|AT|取得最小值為2

a-1

，（8分）
依題意得2

a-1

=a-1，
兩邊平方得a²-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合題意，舍去）．（10分）
∴x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y0=±2

3

．
∴圓C₂的圓心T的坐標(biāo)為（3，±2

3

）．
∵圓C₂與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4，
∴|MN|=2

r2- x 20

=4．
∴r=

4+ x 20

=

13

．（12分）
∵點(diǎn)T到直線l的距離d=|x0+1|=4＞

13

，
∴直線l與圓C₂相離．（14分）