如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長軸的左右兩頂點(diǎn)，P為橢圓上意一點(diǎn)（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時(shí)，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點(diǎn)H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
分析：（1）把點(diǎn)C代入橢圓方程可得a，b的一個(gè)方程，由離心率為
6
3
，得
c
a
=
6
3
，再結(jié)合a2=b2+c2可得a，b；
（2）易知所求圓的直徑為AQ，通過解直角三角形可求tan∠PAB，由二倍角的正切公式可求tan∠QAB，從而可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓心、半徑；
（3）設(shè)P（x0，y0），H（x，y），由H、A、P三點(diǎn)共線及Q、H、B三點(diǎn)共線可得x，y的方程組，解出x，y，用x0，λ表示出OH2，根據(jù)其為定值可得方程，解出即可；
解答：解：（1）由橢圓過點(diǎn)C，得
(
3
2
)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1，即
3
4a2
+
3
4b2
=1①，
由離心率為
6
3
，得
c
a
=
6
3
，所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
2
3
，得a2=3b2②，
聯(lián)立①②解得a2=3，b2=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
3
+y2=1；
（2）由（1）得A（-
3
，0），
當(dāng)P在C處時(shí)，D（
3
2
，0），P（
3
2
，
3
2
），
tan∠PAB=
PD
AD
=
3
2
3
2
-(-
3
)
=
1
3
，
則tan∠QAB=
2tan∠PAB
1-tan2∠PAB
=
2×
1
3
1-(
1
3
)2
=
3
4
，則
QD
AD
=
3
4
，QD=
3
4
×
3
3
2
=
9
3
8
，
所以Q（
3
2
，
9
3
8
），易知過Q、A、D三點(diǎn)的圓以AQ為直徑，則圓心為（-
3
4
，
9
3
16
），直徑AQ=
(
3
2
+
3
)2+(
9
3
8
)2
=
15
3
8
，
半徑為
15
3
16
，
故所求圓的方程為(x+
3
4
)2+(y-
9
3
16
)2=
675
256
；
（3）存在λ=-
2
3
滿足條件，理由如下：
設(shè)P（x0，y0），則D（x0，0），由
PQ
=λ
QD
，得（0，yQ-y0）=λ（0，-yQ），可得yQ=
y0
1+λ
，則Q（x0，
y0
1+λ
），
設(shè)H（x，y），由H、A、P三點(diǎn)共線，得kAH=kAP，即
y
x+
3
=
y0
x0+
3
①，同理由Q、H、B三點(diǎn)共線可得
y
x-
3
=
y0
(1+λ)(x0-
3
)
②，
聯(lián)立①②解得
x=
(2
3
+
3
λ)x0-3λ
2
3
+(
3
-x0)λ
y=
2
3
y0
2
3
+(
3
-x0)λ
，又點(diǎn)P在橢圓上，所以
x02
3
+y02=1，
所以O(shè)H2=x2+y2=[
(2
3
+
3
λ)x0-3λ
2
3
+(
3
-x0)λ
]2+[
2
3
y0
2
3
+(
3
-x0)λ
]2
=[
(2
3
+
3
λ)x0-3λ
2
3
+(
3
-x0)λ
]2+
12(1-
x02
3
)
[2
3
+(
3
-x0)λ]2

=
(8+12λ+3λ2)x02-6
3
(2λ+λ2)x0+9λ2+12
λ2x02-(4
3
λ+2
3
λ2)x0+3λ2+12λ+12
，
若線段OH的長為定值，須有
8+12λ+3λ2
λ2
=
-6
3
(2λ+λ2)
-(4
3
λ+2
3
λ2)
=
9λ2+12
3λ2+12λ
，
解得λ=-
2
3
，
故存在滿足條件的λ=-
2
3
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大，對能力要求很高．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明由..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的一個(gè)長軸端點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)．當(dāng)MF2⊥F1F2時(shí)，原點(diǎn)O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上變化時(shí)，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點(diǎn)，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，當(dāng)OQ1⊥OQ2時(shí)，求r的值．（用b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案