Question

如圖，已知拋物線P：y²=x，直線AB與拋物線P交于A，B兩點(diǎn)，OA⊥OB，

OA

+

OB

=

OC

，OC與AB交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求四邊形AOBC的面積的最小值．

Answer 1

分析：解法一：（1）設(shè)M(x，y)，A(

y

2 1

，y1)，B(

y

2 2

，y2)，由

OA

+

OB

=

OC

，OC與AB交于點(diǎn)M．可知：M是線段AB的中點(diǎn)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：x=

y 2 1 + y 2 2

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

2

，①y=

y1+y2

2

．②由OA⊥OB，利用數(shù)量積得

OA

•

OB

=0．得到

y

2 1

y

2 2

+y1y2=0．依題意知y₁y₂≠0，得到y(tǒng)₁y₂=-1．③
把②、③代入①即可得到軌跡方程；
（2）依題意得四邊形AOBC是矩形，可得四邊形AOBC的面積為S=|

OA

||

OB

|=

( y 2 1 )2+ y 2 1

•

( y 2 2 )2+ y 2 2

=

( y 2 1 +1)( y 2 2 +1)(y1y2)2

=

y 2 1 y 2 2 + y 2 1 + y 2 2 +1

=

2+ y 2 1 + y 2 2

．
再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解法二：（1）依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，由于OA⊥OB，則直線OB的斜率為-

1

k

．故直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為y=-

1

k

x．把直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用

OA

+

OB

=

OC

，即可得到線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出軌跡方程．
（2）依題意得四邊形AOBC是矩形，可得四邊形AOBC的面積為S=|

OA

||

OB

|=

( 1 k2 )2+( 1 k )2

•

(k2)2+(-k)2

=

2+k2+ 1 k2

，利用基本不等式即可得出．

解答：解法一：
（1）解：設(shè)M(x，y)，A(

y

2 1

，y1)，B(

y

2 2

，y2)，
∵

OA

+

OB

=

OC

，OC與AB交于點(diǎn)M．
∴M是線段AB的中點(diǎn)．
∴x=

y 2 1 + y 2 2

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

2

，①y=

y1+y2

2

．②
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0．
∴

y

2 1

y

2 2

+y1y2=0．
依題意知y₁y₂≠0，
∴y₁y₂=-1．③
把②、③代入①得：x=

4y2+2

2

，即y2=

1

2

(x-1)．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y2=

1

2

(x-1)．
（2）解：依題意得四邊形AOBC是矩形，
∴四邊形AOBC的面積為S=|

OA

||

OB

|=

( y 2 1 )2+ y 2 1

•

( y 2 2 )2+ y 2 2

=

( y 2 1 +1)( y 2 2 +1)(y1y2)2

=

y 2 1 y 2 2 + y 2 1 + y 2 2 +1

=

2+ y 2 1 + y 2 2

．
∵

y

2 1

+

y

2 2

≥2|y1y2|=2，當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=|y₂|時(shí)，等號(hào)成立，
∴S≥

2+2

=2．
∴四邊形AOBC的面積的最小值為2．
解法二：
（1）解：依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，
由于OA⊥OB，則直線OB的斜率為-

1

k

．
故直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為y=-

1

k

x．
由

y=kx y2=x

消去y，得k²x²-x=0．
解得x=0或x=

1

k2

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

1

k2

，

1

k

)．
同理得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（k²，-k）．
∵

OA

+

OB

=

OC

，
∴M是線段AB的中點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

x= 1 k2 +k2 2 y= 1 k -k 2

，消去k，得y2=

1

2

(x-1)．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y2=

1

2

(x-1)．
（2）解：依題意得四邊形AOBC是矩形，
∴四邊形AOBC的面積為S=|

OA

||

OB

|=

( 1 k2 )2+( 1 k )2

•

(k2)2+(-k)2

=

2+k2+ 1 k2

≥

2+2 k2• 1 k2

=2．
當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

k2

，即k²=1時(shí)，等號(hào)成立．
∴四邊形AOBC的面積的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式、向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)．