【題目】如圖,某公園內(nèi)有一個(gè)以O為圓心,半徑為5百米,圓心角為的扇形人工湖OAB,OMON是分別由OA、OB延伸而成的兩條觀光道.為便于游客觀光,公園的主管部門準(zhǔn)備在公園內(nèi)增建三條觀光道,其中一條與相切點(diǎn)F,且與OM、ON分別相交于C、D,另兩條是分別和湖岸OAOB垂直的FG、FH (垂足均不與O重合).

(1) 求新增觀光道FG、FH長(zhǎng)度之和的最大值;

(2) 在觀光道ON段上距離O為15百米的E處的道路兩側(cè)各有一個(gè)大型娛樂(lè)場(chǎng),為了不影響娛樂(lè)場(chǎng)平時(shí)的正常開(kāi)放,要求新增觀光道CD的延長(zhǎng)線不能進(jìn)入以E為圓心,2.5百米為半徑的圓形E的區(qū)域內(nèi).則點(diǎn)D應(yīng)選擇在OE之間的什么位置?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】 (1) 新增觀光道FG、FH長(zhǎng)度之和的最大值是百米;(2) 點(diǎn)D應(yīng)選擇在O與E之間,且到點(diǎn)O的距離在區(qū)間 (單位:百米)內(nèi)的任何一點(diǎn)處.

【解析】

(1)連結(jié)OF,OFCD于點(diǎn)F,則OF=5.設(shè)∠FODθ,則FG+FH=5sin(-θ)+5sinθ,利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn),即可得到新增觀光道FG、FH長(zhǎng)度之和的最大值;

(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以ON所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.可得圓O的方程,圓E的方程,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得到答案即可.

(1) 連結(jié)OFOFCD于點(diǎn)F,則OF=5.設(shè)∠FODθ,

則∠FOCθ (θ),故FH=5sinθ,FG=5sin(θ),

FGFH=5sin(θ)+5sinθ

=5(cosθsinθ+sinθ)=5(sinθcosθ)=5sin(θ),

因?yàn)?/span>θ,所以θ,

所以當(dāng)θ,即θ時(shí),(FGFH)max

(2) 以O為坐標(biāo)原點(diǎn),以ON所在的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy

由題意,可知直線CD是以O為圓心,5為半徑的圓O的切線,直線CD與圓E相離,且點(diǎn)O在直線CD下方,點(diǎn)E在直線CD上方.由OF=5,圓E的半徑為2.5,因?yàn)閳AO的方程為x2y2=25,

E的方程為(x-15)2y2=6.25,

設(shè)直線CD的方程為ykxt (-k<0,t>0),

kxyt=0,設(shè)點(diǎn)D(xD,0)

由①得t=5,

代入②得,解得k2>

又由-k<0,得0<k2<3,故k2<3,即<3.

ykxt中,令y=0,解得xD,所以xD<10.

答:(1) 新增觀光道FGFH長(zhǎng)度之和的最大值是百米;

(2) 點(diǎn)D應(yīng)選擇在O與E之間,且到點(diǎn)O的距離在區(qū)間 (單位:百米)內(nèi)的任何一點(diǎn)處.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:與坐標(biāo)軸分別交于A1,A2,B1,B2(如圖).

(1)點(diǎn)Q是圓O上除A1,A2外的任意點(diǎn)(如圖1),直線A1Q,A2Q與直線交于不同的兩點(diǎn)M,N,求線段MN長(zhǎng)的最小值;

(2)點(diǎn)P是圓O上除A1,A2,B1,B2外的任意點(diǎn)(如圖2),直線B2Px軸于點(diǎn)F,直線A1B2A2P于點(diǎn)E.設(shè)A2P的斜率為k,EF的斜率為m,求證:2mk為定值.

(圖1) (圖2)

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【題目】給出函數(shù)如下表,則f〔g(x)〕的值域?yàn)椋?)

x

1

2

3

4

g(x)

1

1

3

3

x

1

2

3

4

f(x)

4

3

2

1

A. {4,2} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D. 以上情況都有可能

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(Ⅰ)若直線與曲線相切于點(diǎn),證明:;

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1)從該企業(yè)的100位員工中隨機(jī)抽取1人,求手機(jī)月平均使用流量不超過(guò)900M的概率;

(2)據(jù)了解,某網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)商推出兩款流量套餐,詳情如下:

套餐名稱

月套餐費(fèi)(單位:元)

月套餐流量(單位:M

A

20

700

B

30

1000

流量套餐的規(guī)則是:每月1日收取套餐費(fèi).如果手機(jī)實(shí)際使用流量超出套餐流量,則需要購(gòu)買流量疊加包,每一個(gè)疊加包(包含200M的流量)需要10元,可以多次購(gòu)買,如果當(dāng)月流量有剩余,將會(huì)被清零.該企業(yè)準(zhǔn)備訂購(gòu)其中一款流量套餐,每月為員工支付套餐費(fèi),以及購(gòu)買流量疊加包所需月費(fèi)用.若以平均費(fèi)用為決策依據(jù),該企業(yè)訂購(gòu)哪一款套餐更經(jīng)濟(jì)?

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(1)求雙曲線的方程;

(2)已知直線yx-2與雙曲線的右支交于MN兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).

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分組

男生人數(shù)

2

16

19

18

5

3

女生人數(shù)

3

20

10

2

1

1

若將平均每日參加體育鍛煉的時(shí)間不低于120分鐘的學(xué)生稱為鍛煉達(dá)人”.

1)將頻率視為概率,估計(jì)我校7000名學(xué)生中鍛煉達(dá)人有多少?

2)從這100名學(xué)生的鍛煉達(dá)人中按性別分層抽取5人參加某項(xiàng)體育活動(dòng).

①求男生和女生各抽取了多少人;

②若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)候選人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案