已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù)。 (1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若對(duì)一切的實(shí)數(shù),有成立,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),在曲線上是否存在兩點(diǎn),使得曲線在 兩點(diǎn)處的切線均與直線交于同一點(diǎn)?若存在,求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為; 當(dāng)時(shí),無減區(qū)間.(2) (3)存在,且交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為10.
解析試題分析:(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由題意可知恒成立,根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,分類去掉絕對(duì)值符號(hào),然后再根據(jù)基本不等式求解即可.
(3)設(shè)切線與直線的公共點(diǎn)為P(2,t),當(dāng)時(shí),則,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線的斜率k=,切線方程為.把點(diǎn)P(2,t)代入切線方程中,整理得,同理可得,設(shè),則原問題等價(jià)于函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求,利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值,欲使至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則需滿足極大值g(0)≥0且極小值g(2)≤0,解出t即可.
(1)當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為; 當(dāng)時(shí),無減區(qū)間。 4分
(2)由條件得:,
當(dāng)時(shí),得,即恒成立,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b3/9/lfcod3.png" style="vertical-align:middle;" />
(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),所以,即; 6分
當(dāng)時(shí),得,即恒成立,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/9/17wbf3.png" style="vertical-align:middle;" />,(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),所以,即;
當(dāng)時(shí),;
綜上所述,的取值范圍是 9分
(3)設(shè)切線與直線的公共點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),,
則,因此以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為.
因?yàn)辄c(diǎn)在切線上,所以,即.
同理可得方程. 11分
設(shè),則原問題等價(jià)于函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/23/5/qavwe.png" style="ve
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=mx- (m為實(shí)數(shù)).
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(),f()處的切線方程;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若m=1,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)<g(x)+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(14分)(2011•福建)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(I)求實(shí)數(shù)b的值;
(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)當(dāng)a=1時(shí),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m<M),使得對(duì)每一個(gè)t∈[m,M],直線y=t與曲線y=f(x)(x∈[,e])都有公共點(diǎn)?若存在,求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,,,其中。
(1)若與的圖像在交點(diǎn)(2,)處的切線互相垂直,
求的值;
(2)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),和1是的兩個(gè)零點(diǎn),
且∈(,求;
(3)當(dāng)時(shí),若,是的兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)|-|>1時(shí),
求證:|-|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)討論在內(nèi)和在內(nèi)的零點(diǎn)情況.
(2)設(shè)是在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),求在上的最值.
(3)證明對(duì)恒有.[來
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求的值;
(2)設(shè)(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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