Question

設數(shù)列{a_n}的前n項個為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）寫出a₁，a₂的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，…），b₁=1，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于S_n=2a_n-2（n=1，2，…）．利用a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1及其等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“累加求和”的等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n=2a_n-2（n=1，2，…）．
∴a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
取n=2時，a₁+a₂=2a₂-2，∴a₂=2+2=4．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-[2a_n-1-2]，化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（II）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，…），b₁=1，
∴b_n+1-b_n=a_n=2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2¹+1
=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1．

點評：本題考查了“累加求和”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．