Question

復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1,過點(diǎn)A作虛軸的平行線l,設(shè)l上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,求所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡.

Answer 1

分析：本題考查復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡方程.因為在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),l過點(diǎn)A且平行于虛軸,所以直線l上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)z的實部為1,可設(shè)為z=1+bi(b∈R),然后再求所對應(yīng)的點(diǎn)的集合.

解：如圖.因為點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1,直線l過點(diǎn)A且平行于虛軸,所以可設(shè)直線l上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1+bi(b∈R).

因此

設(shè)=x+yi(x、y∈R),

于是x+yi=

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,有

消去b,有x²+y²=

所以x²+y²=x(x≠0),

即(x-)2+y²=(x≠0).

所以所對應(yīng)的點(diǎn)的集合是以(,0)為圓心,為半徑的圓,但不包括原點(diǎn)O(0,0).

點(diǎn)評 一般說來,求哪個動點(diǎn)的軌跡方程就設(shè)哪個動點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).所謂動點(diǎn)的軌跡方程就是動點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)所滿足的等量關(guān)系.常見求曲線方程的方法有:軌跡法、待定系數(shù)法、代入法、參數(shù)法等.若把參數(shù)方程中的參數(shù)消去,就可把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程.無論用什么方法求得曲線的方程,都要注意檢驗以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上.對此,常從以下兩個方面入手:一是看對方程的化簡是否采用了非同解變形的手法;二是看是否符合題目的實際意義.其中,用參數(shù)法求得的曲線方程中的x、y的范圍可由參數(shù)函數(shù)的值域來確定.