Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，點(diǎn)E、F分別是PC、AP的中點(diǎn)．
（1）求證：側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）求異面直線AE與BF所成的角．

Answer 1

解：（1）∵PB⊥平面ABC∴平面PBC⊥平面ABC…（3分）
又∵AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC…（6分）
∴側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC…（7分）
（2）以BP所在直線為z軸，CB所在直線為y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得
P（0，0，2），B（0，0，0），
C（0，-2，0）A（2，-2，0）
則E（0，-1，1），F(xiàn)（1，-1，1）?????（10分）
=（-2，1，1），=（1，-1，1）

∴cos???????????（13分）
即AE與BF所成的角是arccos??????????（14分）
分析：（1）由已知中PB⊥底面ABC于B，，∠BCA=90°，我們易根據(jù)面面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理得到側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）以BP所在直線為z軸，CB所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線AE與BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題以三棱錐為載體，考查平面與平面垂直的判定及用空間向量法求平面與平面及直線與直線之間夾角，其中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而將空間線線、面面夾角轉(zhuǎn)化為求向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．