設(shè)點(diǎn)F(0,),動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W,

(1)求曲線W的方程;

(2)過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1、l2,分別交曲線W于A、B和C、D.求四邊形ACBD面積的最小值.

解：(1)過點(diǎn)P作PN垂直直線y=于點(diǎn)N.

依題意得|PF|=|PN|,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為是以F(0,)為焦點(diǎn),直線y=為準(zhǔn)線的拋物線,

即曲線W的方程是x2=6y.

(2)依題意,直線l1、l2的斜率存在且不為0,

設(shè)直線l1的方程為y=kx+,

由l1⊥l2得l2的方程為y=x+.

將y=kx+代入x2=6y,化簡(jiǎn)得x2-6kx-9=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6k,x1x2=-9.

∴|AB|=

=

=6(k2+1).

同理可得|CD|=6(+1).

∴四邊形ACBD的面積S=|AB|·|CD|=18(k2+1)(+1)=18(k2++2)≥72,

當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=±1時(shí),Smin=72.

故四邊形ACBD面積的最小值是72.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點(diǎn)F(0，
3
2
)，動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=-
3
2
相切．記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1，l2，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的最小值．

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設(shè)點(diǎn)F(0，
3
2
)，動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=-
3
2
相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程；
（2）過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1，l2，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ABCD面積的最小值．
（3）分別在A、B兩點(diǎn)作曲線W的切線，這兩條切線的交點(diǎn)記為Q．求證：QA⊥QB，且點(diǎn)Q在某一定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年甘肅省高三百題集理科數(shù)學(xué)試卷（解析版）（四） 題型：解答題

設(shè)點(diǎn)F(0,),動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.

⑴求曲線W的方程；⑵過點(diǎn)F作相互垂直的直線，，分別交曲線W于A,B和C,D.①求四邊形ABCD面積的最小值；②分別在A,B兩點(diǎn)作曲線W的切線，這兩條切線的交點(diǎn)記為Q,求證：QA⊥QB,且點(diǎn)Q在某一定直線上。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點(diǎn)F(0,),動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W,

(1)求曲線W的方程;

(2)過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1、l2,分別交曲線W于A、B和C、D.求四邊形ACBD面積的最小值.

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