【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若直線與曲線至多只有一個公共點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,的中點為,求點的軌跡方程.
【答案】(1)或;(2)
【解析】
(1)利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式把曲線和直線的方程化為直角坐標(biāo)方程,并聯(lián)立直線和曲線的直角坐標(biāo)方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出實數(shù)的取值范圍;
根據(jù)題意,設(shè),,的中點為,直線和曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立,得到關(guān)于的一元二次方程,由兩個交點,可得判別式,求出取值范圍,利用韋達定理和點在直線上表示出點坐標(biāo),消去參數(shù)即可求出,的中點的軌跡方程.
(1)因為曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
消去參數(shù)可得,曲線的直角坐標(biāo)方程為,
由題意知,直線的極坐標(biāo)方程可化為,
因為,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,
聯(lián)立方程,可得,
因為直線與曲線至多只有一個公共點,
所以判別式,解得或,
所以所求實數(shù)的取值范圍為或.
(2)設(shè),,的中點為,
聯(lián)立方程,可得,
所以判別式,解得,
由韋達定理可得,,
因為點在直線上,所以,
所以可得,即為點的軌跡方程.
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【題目】已知橢圓G:的右焦點為F,過F的直線l交橢圓于A、B兩點,直線與l不與坐標(biāo)軸平行,若AB的中點為N,O為坐標(biāo)原點,直線ON交直線x=3于點M.
(1)求證:MF⊥l;
(2)求的最大值,
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【題目】已知的兩個頂點的坐標(biāo)分別為,,且所在直線的斜率之積等于,記頂點的軌跡為.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點,點在曲線上,且為的重心(為坐標(biāo)原點),求證:的面積為定值,并求出該定值.
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【題目】已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,公比為.令.
(1)若.
①當(dāng),求數(shù)列的通項公式;
②設(shè),,試比較與的大小?并證明你的結(jié)論.
(2)問集合中最多有多少個元素?并證明你的結(jié)論.
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【題目】第18屆國際籃聯(lián)籃球世界杯(世界男子籃球錦標(biāo)賽更名為籃球世界杯后的第二屆世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.中國隊12名球員在第一場和第二場得分的莖葉圖如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.第一場得分的中位數(shù)為B.第二場得分的平均數(shù)為
C.第一場得分的極差大于第二場得分的極差D.第一場與第二場得分的眾數(shù)相等
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【題目】如圖,在邊長為3的正方形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上(如圖1),且BE=BF,將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點重合于點A′(如圖2).
(1)求證:A′D⊥EF;
(2)BFBC時,求點A′到平面DEF的距離.
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【題目】如圖,在中,,點為的中點,點為線段垂直平分線上的一點,且,固定邊,在平面內(nèi)移動頂點,使得的內(nèi)切圓始終與切于線段的中點,且、在直線的同側(cè),在移動過程中,當(dāng)取得最小值時,的面積為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,一島礁旁有兩條航道與,.一日,我方船只甲在航道上巡邏,在與相距50公里的點處,發(fā)現(xiàn)不明身份的船乙剛駛過點,并沿方向以40公里/小時的速度運動,船甲立即沿方向以公里/小時()的速度追擊,且甲到達點即停止前行(乙可繼續(xù)前進).設(shè)甲出發(fā)時,經(jīng)過小時甲,乙之間的距離為公里,當(dāng)最小時,可以達到最佳的驅(qū)離距離.
(1)試求的解析式,并寫出定義域;
(2)求最多經(jīng)過多長時間,我船可以達到最佳的驅(qū)離距離?
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【題目】定義:若函數(shù)在區(qū)間上的值域為,則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”,另外,定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為,已知函數(shù),則( )
A.是的一個“完美區(qū)間”
B.是的一個“完美區(qū)間”
C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
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