已知橢圓的方程為,其中.
(1)求橢圓形狀最圓時(shí)的方程;
(2)若橢圓最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn),證明:點(diǎn)在一個(gè)定圓上.

(1);(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)滿足的條件得:,且,則知橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上,而橢圓形狀最圓時(shí)e最小,則先得到e的表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求表達(dá)式的最小值,得到取得最小值時(shí)的的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),設(shè)出交點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)直線的斜率是否存在,分2種情況討論,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到關(guān)于k的方程,由于兩切線垂直,則,利用上述方程的兩根之積得到的值,整理出方程形式,再驗(yàn)證當(dāng)斜率不存在時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo),得到最終結(jié)論.
試題解析:(1)根據(jù)已知條件有,且,故橢圓的長(zhǎng)軸在軸上.
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
由于橢圓的離心率最小時(shí)其形狀最圓,故最圓的橢圓方程為.    5分
(2)設(shè)交點(diǎn),過(guò)交點(diǎn)的直線與橢圓相切.
(1)當(dāng)斜率不存在或等于零時(shí),易得點(diǎn)的坐標(biāo)為.    6分
(2)當(dāng)斜率存在且非零時(shí),則設(shè)斜率為,則直線
與橢圓方程聯(lián)立消,得:.
由相切,,
化簡(jiǎn)整理得.①
因過(guò)橢圓外一點(diǎn)有兩條直線與橢圓相切,由已知兩切線垂直,故,而為方程①的兩根,
,整理得:.
也滿足上式,
點(diǎn)的軌跡方程為,即點(diǎn)在定圓上.   13分
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),過(guò)點(diǎn)作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點(diǎn),連結(jié)、分別交直線、兩點(diǎn),試探究直線、的斜率之積是否為定值,若為定值,請(qǐng)求出;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線C:,點(diǎn)A、B在拋物線C上.

(1)若直線AB過(guò)點(diǎn)M(2p,0),且=4p,求過(guò)A,B,O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)的圓的方程;
(2)設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為,且,問(wèn)直線AB是否會(huì)過(guò)某一定點(diǎn)?若是,求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線,使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,是橢圓上不同的三點(diǎn),,,在第三象限,線段的中點(diǎn)在直線上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上(異于點(diǎn),,)且直線PB,PC分別交直線OA兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(1)已知定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)N滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,,,求點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)如圖,已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,且異于點(diǎn),直線與直線分別交于點(diǎn),

(。┰O(shè)直線的斜率分別為、,求證:為定值;
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的焦距為,過(guò)右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)斜率為的直線相交于、兩點(diǎn),記面積的最大值為,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和等于6.

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),若直線與過(guò)點(diǎn)的圓相切,切點(diǎn)為.證明:線段的長(zhǎng)為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知曲線E:ax2+by2=1(a>0,b>0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線l與曲線E交于點(diǎn)A、B,且=-2.
(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),求曲線E的方程;
(2)若a=b=1,求直線AB的方程.

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