Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ），g（x）=2cos（ωx+φ）若對任意的x∈R都有f（

π

3

+x）=f（

π

3

-x），則g（

π

3

）=

 

．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：先根據f（

π

3

+x）=f（

π

3

-x），確定x=

π

3

是函數f（x）的對稱軸，再由正余弦函數在其對稱軸上取最值得到 

π

3

ω+φ=

π

2

，（k∈Z），然后將x=

π

3

代入函數g（x）即可得到答案．

解答： 解：函數f（x）=sin（ωx+φ），若對任意的x∈R都有f（

π

3

+x）=f（

π

3

-x），所以函數的一條對稱軸方程為x=

π

3

，且x=

π

3

時函數f（x）過最高點或最低點．
∴sin（

π

3

ω+φ）=±1，∴

π

3

ω+φ=

π

2

+kπ，（k∈Z）
g（

π

3

）=2cos（

π

3

ω+φ）=2cos（

π

2

+kπ）=0
故答案為：0．

點評：本題主要考查三角函數的對稱軸的問題．注意正余弦函數在其對稱軸上取最值．