【題目】定義在R上的函數(shù)f(x),f(0)≠0,f(1)=2,當(dāng)x>0,f(x)>1,且對(duì)任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求f(0)的值.
(2)求證:對(duì)任意x∈R,都有f(x)>0.
(3)若f(x)在R上為增函數(shù),解不等式f(3﹣2x)>4.

【答案】
(1)解:令a=b=0,由f(a+b)=f(a)f(b),得f(0)=f2(0),

∵f(0)≠0,∴f(0)=1


(2)證明:當(dāng)x<0時(shí),﹣x>0,∴f(﹣x)>1,

∵f(0)=f(x﹣x)=f(x)﹣f(﹣x)=1,

∴f(x)= ∈(0,1),

又有x>0,f(x)>1,且f(0)=1,

∴對(duì)任意x∈R,都有f(x)>0


(3)解:∵f(1+1)=f2(1)=22=4,且f(x)在R上為增函數(shù),

∴f(3﹣2x)>4可化為f(3﹣2x)>f(2),

∴3﹣2x>2,得x

∴不等式f(3﹣2x)>4的解集為(﹣∞,﹣


【解析】(1)在已知等式中取a=b=0可得f(0)的值;(2)當(dāng)x<0時(shí),﹣x>0,利用已知條件可得f(x)= ∈(0,1),結(jié)合已知可得答案;(3)由已知等式求得f(2)=4,則不等式f(3﹣2x)>4等價(jià)于f(3﹣2x)>f(2),利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一次不等式求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某課題組對(duì)春晚參加“咻一咻”搶紅包活動(dòng)的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,按照使用手機(jī)系統(tǒng)不同(安卓系統(tǒng)和IOS系統(tǒng))分別隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)他們咻得紅包總金額數(shù)如表所示:

手機(jī)系統(tǒng)

安卓系統(tǒng)(元)

2

5

3

20

9

IOS系統(tǒng)(元)

4

3

18

9

7


(1)如果認(rèn)為“咻”得紅包總金額超過(guò)6元為“咻得多”,否則為“咻得少”,請(qǐng)判斷手機(jī)系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少是否有關(guān)?
(2)要從5名使用安卓系統(tǒng)的同學(xué)中隨機(jī)選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng),以X表示選中的同學(xué)中咻得紅包總金額超過(guò)6元的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
下面的臨界值表供參考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ,其中n=a+b+c+d.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)y=log (x2﹣2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(
A.(﹣∞,0)
B.(﹣∞,1)
C.(2,+∞)
D.(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng), .

(Ⅰ)證明: ;

(Ⅱ) 記, 為數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:對(duì)任意正整數(shù), .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)=|ax1﹣1|在區(qū)間(a,3a﹣1)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)a,b∈R,且a≠2,定義在區(qū)間(﹣b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg 是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)求b的取值范圍;
(3)用定義討論并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},已知A∩B={9},求a的值,并求出A∪B.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù), . 

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)單調(diào)性;

(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意的, ,且,有恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若f(x)=x2﹣x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且a≠1),
(1)求a,b;
(2)求f(log2x)的最小值及相應(yīng) x的值;
(3)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1),求x的取值范圍.

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