Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，角A的正弦，余弦值與

1

2

構(gòu)成以為

1

2

等差中項的等差數(shù)列．
（1）試判斷該三角形的形狀并說明理由．
（2）如果邊b，c是方程x²-mx+2=0的兩根，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知，sinA+cosA=1，化為

2

sin（A+

π

4

）=1，結(jié)合A為三角形內(nèi)角即特殊角的三角函數(shù)值得出A為直角．
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出bc=2，根據(jù)勾股定理以及不等式的性質(zhì)得出，a²=b²+c²≥2bc=4，得出a≥2．

解答：解：（1）∵角A的正弦，余弦值與

1

2

構(gòu)成以為

1

2

等差中項的等差數(shù)列．
∴sinA+cosA=1
得出

2

sin（A+

π

4

）=1
∴A+

π

4

=2kπ+

π

4

或 2kπ+

3π

4

而A為三角形內(nèi)角，故 A+

π

4

=

3π

4

，∴A=

π

2

所以該三角形為直角三角形．
（2）邊b，c是方程x²-mx+2=0的兩根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出bc=2
 根據(jù)勾股定理以及不等式的性質(zhì)得出，a²=b²+c²≥2bc=4，
∴a≥2，此時b=c=

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)式的恒等變形，不等式的性質(zhì)．考查轉(zhuǎn)化、計算能力．