Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中底面四邊形ABCD是正方形，各側(cè)面都是邊長為2的正三角形，M是棱PC的中點．建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法解答以下問題：
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）求二面角M﹣BD﹣C的平面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)OP．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PA=PC，∴OP⊥AC，

同理OP⊥BD，

以O(shè)為原點， 分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

，

，

平面BMD的法向量為 ，

∵ ， ，又PA平面BMD，

∴PA∥平面BMD

（2）解：平面ABCD的法向量為

平面MBD的法向量為 ，

則 ，即 ，

∴ …（9分）

二面角M﹣BD﹣C的平面角為α，

則 ，α=45°

∴二面角M﹣BD﹣C的平面角45°

【解析】（1）連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)OP，以O(shè)為原點， 分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能證明PA∥平面BMD．（2）求出平面ABCD的法向量和平面MBD的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣C的平面角．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．