Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=7，a₅+a₇=26，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{S_n}-n}}（n∈{N^*}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求$\lim_{n→∞}{T_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₅+a₇=26，得a₆=13，
又a₆-a₃=3d=6，解得d=2．
所以a_n=a₃+（n-3）d=7+2（n-3）=2n+1．
所以${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}×n=\frac{3+2n+1}{2}×n={n^2}+2n$．
（2）由${b_n}=\frac{1}{{{S_n}-n}}$，得${b_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
則${T_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$，
$\lim_{n→∞}{T_n}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．