Question

19．已知虛數(shù)z=（x-2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，則$\frac{y}{x}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)數(shù)的模，利用模長公式得：（x-2）²+y²=1，根據(jù)$\frac{y}{x}$表示動點（x，y）與原點（0，0）連線的斜率．根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)得到結(jié)果．

解答 解：∵復(fù)數(shù)（x-2）+yi（x，y∈R）的模為1，
∴（x-2）²+y²=1
根據(jù)$\frac{y}{x}$表示動點（x，y）到定點（0，0）的斜率知：
$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，同理求得最小值是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
如圖示：

∴$\frac{y}{x}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
故答案為：[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題考查復(fù)數(shù)求模及簡單線性規(guī)劃，解答關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式，得到x，y所滿足的條件，根據(jù)條件做出圖形利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．