Question

13．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），作圓x²+y²=$\frac{a^2}{4}$的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，則雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，可得E是PF的中點(diǎn)，利用O為FF'的中點(diǎn)，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求PF′、PF，再由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)為F′，
∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴E是PF的中點(diǎn)，
∴PF′=2OE=a，
∴PF=3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）²+a²=4c²，
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的定義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．