12.已知向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$的模長都為1,且<$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$>=120°,若正數(shù)λ,μ滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$,則λ+μ的最大值為2;

分析 根據(jù)題意將已知的等式轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算,由向量的數(shù)量積運(yùn)算、完全平方公式化簡,再由基本不等式列出關(guān)于“λ+μ”的不等式,即可求出λ+μ的最大值.

解答 解:∵<$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$>=120°,正數(shù)λ,μ滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$,
且向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$的模長都為1,
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}=(λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB})^{2}$=${λ}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2λμ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{μ}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$
則1=λ2-λμ+μ2=(λ+μ)2-3λμ,
即3λμ=(λ+μ)2-1,
∵λ>0,μ>0,∴$λμ≤(\frac{λ+μ}{2})^{2}$,當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ時(shí)取等號,
代入上式可得,${(λ+μ)}^{2}-1≤3{(\frac{λ+μ}{2})}^{2}$,
化簡可得,(λ+μ)2≤4,則0<λ+μ≤2,
∴λ+μ的最大值是2,
故答案為:2.

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,化簡、變形能力.

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