精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE;
(2)求三棱錐D-AEC的體積;
(3)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面DAE.
分析:(1)由AD∥BC和AD⊥平面ABE證明AE⊥BC,再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF,根據(jù)線面垂直的判定定理證出AE⊥平面BCE,即證出AE⊥BE;
(2)由題意知AD⊥平面ABE,則過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AB,得到EH⊥平面ABCD,再根據(jù)條件求出EH和AB,利用換低求出三棱錐的體積;
(3)根據(jù)條件分別在△ABE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AE和△BEC中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BC,根據(jù)線面平行的判定證出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE,由面面平行的判定證出平面MGN∥平面ADE,則得到N點(diǎn)在線段CE上的位置.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)證明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC
∴BC⊥平面ABE,則AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE,∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B,
∴AE⊥平面BCE,且BE?平面BCE,∴AE⊥BE
(2)過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AB,∵AD⊥平面ABE,∴AD⊥EH,
∴EH⊥平面ABCD,
∵AE=EB=2,∴AB=2
2
,EH=
2
,
VD-AEC=VE-ADC=
1
3
×2
2
×
2
=
4
3

(3)在△ABE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn),在△BEC中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn),連MN,
∵AM=2MB,∴CN=
1
3
CE

∵M(jìn)G∥AE,MG?平面ADE,AE?平面ADE,∴MG∥平面ADE
同理可證,GN∥平面ADE,
∵M(jìn)G∩GN=G,∴平面MGN∥平面ADE
又∵M(jìn)N?平面MGN,∴MN∥平面ADE,
∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)
點(diǎn)評(píng):本題是關(guān)于線線、線面和面面垂直與平行的綜合題,利用垂直與平行的判定(性質(zhì))定理,實(shí)現(xiàn)線線、線面和面面的相互轉(zhuǎn)化,注意利用的定理;并且求三棱錐的體積時(shí)常用換低來(lái)求解,考查了推理論證和邏輯思維能力.
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(2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
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12
PD.
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128°
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如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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