Question

（2012•濟寧一模）已知函數(shù)f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

（0≤?≤

π

2

）為偶函數(shù)．
（I）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（II）把函數(shù)的圖象向右平移

π

6

個單位（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的對稱中心．

Answer 1

分析：（I）把函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，即為函數(shù)解析式的最簡形式，即可求出最小正周期以及單調(diào)區(qū)間；
（II）由題意根據(jù)平移變換求出函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的對稱中心即可．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）=

3

sin（x-?）cos（x-?）-cos²（x-?）+

1

2

=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

（2cos²φ-1）=

3

2

sin（2x-2φ）-

1

2

cos（2x-2φ）
=sin（2x-2φ-

π

6

）
函數(shù)f（x） 為偶函數(shù)，則-2φ-

π

6

=kπ，k∈z
∵0≤?≤

π

2

∴φ=

5π

12

∴f（x）=sin（2x-π）=-sin2x
∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π
令2x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z  解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]k∈Z
（II）由（I）知f（x）=-sin2x
由題意知g（x）=-sin[2（x-

π

6

）]=-sin（2x-

π

3

）
令2x-

π

3

=kπ（k∈Z），則x=

π

6

+

kπ

2

 （k∈Z），
∴函數(shù)的對稱中心坐標為（

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡和求值中的應(yīng)用，y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，簡單的三角方程的解法．