Question

【題目】已知橢圓（），的兩個(gè)焦點(diǎn)， ，點(diǎn)在此橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率分別為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）依題意， ，利用點(diǎn)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)相互垂直，可得 ，從而可得橢圓的方程；
（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線(xiàn)的斜率，即可求得結(jié)論；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為： ，代入，利用韋達(dá)定理及斜率公式可得結(jié)論．

試題解析：(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得： ，而點(diǎn)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)相互垂直，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性故有；所以,

故橢圓的方程為．

（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由，解得，不妨設(shè)， ，則為定值。

②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，將代入整理化簡(jiǎn)得： 。

設(shè)，則，

又，所以

，

綜上為常數(shù)2.