Question

5．已知實(shí)數(shù)a＞0，且函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$為奇函數(shù)．判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0，代入數(shù)據(jù)，計(jì)算可得a的值，對(duì)f（x）的表達(dá)式變形，用作差法判斷函數(shù)單調(diào)性即可．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$為奇函數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0，
∴有f（0）=0，即$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a=1，∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
理由：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．