【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式
(2)若bn=anlog an , Sn=b1+b2+b3+…+bn , 對任意正整數(shù)n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,試求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q.
依題意,
有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28,
得a3=8.
∴a2+a4=20.
∴
解之得 ,或
又{an}單調(diào)遞增,
∴q=2,a1=2,∴an=2n,
(2)解:bn=2nlog 2n=﹣n2n,
∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
﹣2Sn=1×22+2×23++(n﹣1)2n+n2n+1②
①﹣②得,Sn=2+22+23++2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1
=2n+1﹣2﹣n2n+1
由Sn+(n+m)an+1<0,
即2n+1﹣2﹣n2n+1+n2n+1+m2n+1<0對任意正整數(shù)n恒成立,
∴m2n+1<2﹣2n+1.
對任意正整數(shù)n,
m< ﹣1恒成立.
∵ ﹣1>﹣1,∴m≤﹣1.
即m的取值范圍是(﹣∞,﹣1].
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1 , 公比為q,根據(jù)2(a3+2)=a2+a4 , 可求得a3 . 進而求得a2+a4=20.兩式聯(lián)立方程即可求得a1和q的值,最后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得an . (2)把(1)中的an代入bn , 再利用錯位相減法求得Sn , 再由Sn+(n+m)an+1<0恒成立進而求得m的范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的基本性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握{(diào)an}為等比數(shù)列,則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項不為零的常數(shù)列,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA= acosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,分別求a和c的值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|logax|(0<a<1)的定義域為[m,n](m<n),值域為[0,1],若n﹣m的最小值為 , 則實數(shù)a的值為( 。
A.
B.
C.
D.
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【題目】選修4一5:不等式選講.
已知函數(shù).
(1)求的解集;
(2)設(shè)函數(shù),若對任意的都成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知三個點A(2,1)、B(3,2)、D(﹣1,4).
(1)求證: ;
(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點C的坐標,并求矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值.
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標系,已知直線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.
(1)設(shè)為參數(shù),若,求直線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,設(shè),且,求實數(shù)的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}前n項和
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若 ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】已知正方形ABCD的邊長為1,弧BD是以點A為圓心的圓。
(1)在正方形內(nèi)任取一點M,求事件“|AM|≤1”的概率;
(2)用大豆將正方形均勻鋪滿,經(jīng)清點,發(fā)現(xiàn)大豆一共28粒,其中有22粒落在圓中陰影部分內(nèi),請據(jù)此估計圓周率π的近似值(精確到0.01).
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【題目】甲、乙兩人參加某種選拔測試,在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙能答對其中的5道題。規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試,答對一題加10分,答錯一題(不答視為答錯)減5分,至少得15分才能入選.
(I)求甲能入選的概率.
(II)求乙得分的分布列和數(shù)學期望;
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