Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合.
求橢圓的方程；
設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條動(dòng)弦，若直線斜率之積為，直線是否一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）恒過(guò)一定點(diǎn).

試題分析：（1）可設(shè)橢圓方程為,因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，又，所以，又因，得，所以橢圓方程為；
（2）由（1）知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)，設(shè)，則，
易得，不合題意；故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得： ①，設(shè)，則是方程①的兩根，由韋達(dá)定理，由，利用韋達(dá)定理代入整理得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051206751416.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，此時(shí)直線的方程為，即可得出直線的定點(diǎn)坐標(biāo).
（1）由題意可設(shè)橢圓方程為,
因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，
又，所以，
又因，得，
所以橢圓方程為；    
（2）由（1）知，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，
，不合題意.
故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得：
 ①
由得 ②
設(shè)，則是方程①的兩根，由韋達(dá)定理
，
由得：
，
即，整理得
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051206751416.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，此時(shí)直線的方程為.
所以直線恒過(guò)一定點(diǎn)