如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，又橢圓上的任一點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，過、兩點(diǎn)作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.求的面積的最大值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)題干條件求出、的值，進(jìn)而求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出，根據(jù)題中條件得到點(diǎn)的坐標(biāo)使得取得最小值，從而得出，最后再求出面積的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)或基本不等式求出的最大值.
試題解析：（1）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意得，解的，，，
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)，又設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則
，，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，
又由題意得：是橢圓上任意一點(diǎn)到的距離最小的點(diǎn)，
設(shè)，因此當(dāng)時(shí)，取最小值，
又因，所以，
由對(duì)稱性知，故，所以
S，
所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.圓與橢圓的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長為2+2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點(diǎn)F2作直線l 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，若，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，且橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，以線段為底邊作等腰三角形，其中頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，求△的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖已知拋物線：過點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點(diǎn)，．
 
(1)求的值；
(2)是否存在定點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，△與△的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(理)已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線不過點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的數(shù)值；
(3)試問：是否存在一個(gè)定圓，與以動(dòng)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相內(nèi)切？若存在，求出這個(gè)定圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn),且．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn),問：是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求證：不可能為等邊三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在橢圓和上，，求直線的方程.

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