如圖,在直三棱柱中,D、E分別是BC和的中點(diǎn),已知AB=AC=AA1=4,ÐBAC=90°.

(1)求證:⊥平面
(2)求二面角的余弦值;
(3)求三棱錐的體積.
(1)見(jiàn)解析   (2)    (3)8

試題分析:
(1)(2)(3)均可利用坐標(biāo)法,即分別以建立三維空間坐標(biāo)系.下面重點(diǎn)分析法2
(1)利用勾股定理可以求的線段的長(zhǎng),而要證明,只需要證明,首先可以三次利用勾股定理把的三條邊長(zhǎng)求出,再利用勾股定理證明,線段為等腰直角三角形ABC的三線合一即有,可得到,進(jìn)而得到,即可通過(guò)線線垂直證明面DAE.
(2)要求二面角的余弦值,需要作出該二面角的平面角,為此過(guò)D做DM⊥AE于點(diǎn)M,連接B1M.,根據(jù)第一問(wèn)有面AED且可以得到,則即為所求二面角的平面角,即該角的余弦值為.利用勾股定理即可得到的長(zhǎng),進(jìn)而得到二面角的余弦值.
(3)由(1)可得,則該三棱錐可以以作為底面,高為來(lái)求的體積,而AD和三角形的面積都可以用勾股定理求的.
試題解析:

法1:依題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052110632.png" style="vertical-align:middle;" />=4,所以A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),D(2,2,0),B1(4,0,4).                         (1分)
(1),,.             (2分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052188796.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,即.    (3分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052235878.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,即.     (4分)
又AD、AEÌ平面AED,且AD∩AE=A,故⊥平面.          (5分)
(2)由(1)知為平面AED的一個(gè)法向量.            (6分)
設(shè)平面 B1AE的法向量為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042052157742.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以由,得,令y=1,得x=2,z=-2.即.(7分)
,                (8分)
∴二面角的余弦值為.                             (9分)
(3)由,,得,所以AD⊥DE. (10分)
,,得.    (11分)
由(1)得B1D為三棱錐B1-ADE的高,且,             (12分)
所以.                        (13分)
法2:依題意得,平面ABC,,
,.
(1)∵,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.
∵B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,∴AD⊥B1B.
BC、B1B平面B1BCC1,且BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.
又B1D平面B1BCC1,故B1D⊥AD .                               (2分)
,,
,所以.                        (4分)
又AD、DE平面AED,且AD∩DE=E,故⊥平面.        (5分)
(2)過(guò)D做DM⊥AE于點(diǎn)M,連接B1M.
由B1D⊥平面AED,AE平面AED,得AE ⊥B1D.
又B1D、DM平面B1DM,且B1D∩DM=D,故AE⊥平面B1DM.
因?yàn)锽1M平面B1DM,所以B1M⊥AE.
故∠B1MD為二面角B1—AE—D的平面角.                          (7分)
由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,又DE平面B1BCC1,所以AD⊥DE.
在Rt△AED中,,                       (8分)
在Rt△B1DM中,,
所以,即二面角B1—AE—D的余弦值為. (9分)
(3)由(1)得,AD⊥平面B1BCC1
所以AD為三棱錐A-B1DE的高,且.                      (10分)
由(1)得.             (11分)
.                    (13分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)

如圖,在三棱柱中,底面,,E、F分別是棱的中點(diǎn).
(1)求證:AB⊥平面AA1 C1C;
(2)若線段上的點(diǎn)滿足平面//平面,試確定點(diǎn)的位置,并說(shuō)明理由;
(3)證明:⊥A1C.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長(zhǎng)是,D是AC的中點(diǎn)。

(1)求證:平面
(2)求二面角的大。
(3)求直線與平面所成的角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知點(diǎn)M、N是正方體ABCD-A1B1C1D1的兩棱A1A與A1B1的中點(diǎn),P是正方形ABCD的中心,

(1)求證:平面.
(2)求證:平面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,ECPD,且PD=2EC.

(1)求證:BE∥平面PDA
(2)若N為線段PB的中點(diǎn),求證:NE⊥平面PDB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD,AE⊥平面CDE,且AB=2AE.

(1)求證:AB∥平面CDE;
(2)求證:平面ABCD⊥平面ADE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,其中線段AB平面,E,F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點(diǎn),當(dāng)正四面體繞以AB為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),線段EF在平面上的射影長(zhǎng)的范圍是(    )
A.[0,]B.[,]
C.[,]D.[]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面,則下列命題中正確命題是(     )
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

三棱錐中,分別是的中點(diǎn),則四邊形是(   )
A.菱形  B.矩形 C.梯形   D.正方形

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案