Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-1|，}&{x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\end{array}\right.$若方程f（x）=m恰有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算極值，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出m的范圍．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)1≤x＜e時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得極大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當(dāng)0$＜m＜\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=m有5個(gè)解，
故答案為（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．