Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，的面積為1，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點在橢圓上且位于第二象限，過點作直線，過點作直線，若直線的交點恰好也在橢圓上，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題設(shè)條件，列出的方程組，結(jié)合，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）設(shè)，分和兩種情況討論，當時，聯(lián)立的方程組，取得，再結(jié)合橢圓的對稱性，列出方程組，即可求解

（1）由橢圓的上頂點為，的面積為1，且橢圓的離心率為，

可得，解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）知，橢圓的方程，可得，，

設(shè)，則，.

當時，與相交于點不符合題意；

當時，直線的斜率為，直線的斜率為，

因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，

所以直線的方程為，直線的方程為，

聯(lián)立和的方程，解得，，所以，

因為點在橢圓上，由橢圓的對稱性，可知，

所以或，

由方程組，解得，而方程組無解（舍去），

所以點的坐標為.