設(shè)橢圓
x2
2
+y2=1上一點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為|OP|=r1，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與橢圓相交于點(diǎn)Q，若|OQ|=r2，則r1r2的最小值為（　�。�
分析：設(shè)直線OP方程為y=kx，點(diǎn)P（x1，y1），利用方程組聯(lián)解的方法可得：x12=
2
1+2k2
，y12=
2k2
1+2k2
，所以r12=x12+y12=
2+2k2
1+2k2
．同理可得到Q（x2，y2）滿足：r22=x22+y22=
2+2k2
2+k2
，所以有
1
r12
+
1
r22
=
3
2
，化簡整理，結(jié)合基本不等式，可得r1r2≥
4
3
，當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2，即k2=1時，r1r2取到最小值
4
3
．
解答：解：設(shè)直線OP方程為y=kx，點(diǎn)P（x1，y1）
∵點(diǎn)P是橢圓
x2
2
+y2=1與直線y=kx的交點(diǎn)
∴由
y=kx
x2
2
+y2=1
可得：x12=
1
1
2
+k2
=
2
1+2k2
，y12=k2x2=
2k2
1+2k2

∵點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為|OP|=r1，
∴r12=x12+y12=
1+k2
1
2
+k2
=
2+2k2
1+2k2
，
∵OQ是由OP繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得，
∴直線OQ方程為y=
1
k
x，
再設(shè)Q（x2，y2），用類似于求r12的方法，可得r22=x22+y22=
2+2k2
2+k2

∴r1、r2滿足
1
r12
+
1
r22
=
3
2
，可得r12+r22=
3
2
r12r22
根據(jù)基本不等式，可得r12+r22≥2r1r2
∴
3
2
r12r22≥2r1r2，即r1r2≥
4
3
，當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2，即k2=1時，r1r2取到最小值
4
3

故選B
點(diǎn)評：本題給出橢圓上兩點(diǎn)P、Q滿足∠POQ=90°，求OP、OQ之積的最小值，著重考查了橢圓的基本概念、直線與橢圓的關(guān)系和基本不等式等知識點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓
x22
+y2=1的左焦點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，使得AB的中點(diǎn)M在直線x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）設(shè)C（-2，0），求tan∠ACB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上，求直線AB的方程；
（2）求過點(diǎn)O、F并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)橢圓
x2
2
+y2=1上一點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為|OP|=r1，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與橢圓相交于點(diǎn)Q，若|OQ|=r2，則r1r2的最小值為（　�。�
A．
2
3
B．
4
3
C．
2
D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)橢圓
x2
2
+y2=1上一點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為|OP|=r1，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與橢圓相交于點(diǎn)Q，若|OQ|=r2，則r1r2的最小值為（　�。�
A．
2
3
B．
4
3
C．
2
D．2

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