【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項an;
(2)設bn=nan+1 , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)設cn= ,求證:c1+c2+…+cn .(n∈N*

【答案】
(1)解:當n=1時,a1=S1=3,

當n≥2時,an=Sn﹣Sn1=2n1,

∴數(shù)列{an}的通項an=


(2)解:由(1)可知bn=nan+1=n2n,

則Tn=121+222+323+…+n2n

2Tn=122+223+…+(n﹣1)2n+n2n+1,

兩式相減,得:﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n2n+1

=(1﹣n)2n+1﹣2,

∴Tn=2+(n﹣1)2n+1


(3)證明:由(1)可知cn= =

當n=1時,c1=

當n≥2時,c1+c2+…+cn= + + +…+

+ + +…+

= + + +…+

=

綜上所述,c1+c2+…+cn (n∈N*


【解析】(1)當n≥2時利用an=Sn﹣Sn1計算,進而可得通項公式;(2)通過(1)可知bn=n2n , 進而利用錯位相減法計算即得結論;(3)通過(1)可知數(shù)列{cn}的通項公式,分n=1與n≥2兩種情況討論即可,當n≥2時通過放縮cn= 即得結論.
【考點精析】利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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