【題目】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
附表:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
K2= ,(其中n=a+b+c+d)
(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率.
(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
生產(chǎn)能手 | 非生產(chǎn)能手 | 合計(jì) | |
25周歲以上組 | |||
25周歲以下組 | |||
合計(jì) |
【答案】
(1)解:由已知可得,樣本中有25周歲以上組工人100× =60名,
25周歲以下組工人100× =40名,
所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05=3(人),
25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),
故從中隨機(jī)抽取2名工人所有可能的結(jié)果共 =10種,
其中至少1名“25周歲以下組”工人的結(jié)果共 + =7種,
故所求的概率為: ;
(2)解:由頻率分布直方圖可知:在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15(人),
“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:
生產(chǎn)能手 | 非生產(chǎn)能手 | 合計(jì) | |
25周歲以上組 | 15 | 45 | 60 |
25周歲以下組 | 15 | 25 | 40 |
合計(jì) | 30 | 70 | 100 |
所以可得k2= ≈1.79,
因?yàn)?.79<2.706,所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”
【解析】(1)由分層抽樣的特點(diǎn)可得樣本中有25周歲以上、下組工人人數(shù),再由所對(duì)應(yīng)的頻率可得樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上、下組工人的人數(shù)分別為3,2,由古典概型的概率公式可得答案;(2)由頻率分布直方圖可得“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù),以及“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表,可得k2≈1.79,由1.79<2.706,可得結(jié)論.
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【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn),則直線A1M與DN所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示, (Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行,比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝,比賽結(jié)束),假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.
(1)求甲以4比1獲勝的概率;
(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率;
(3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.
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【題目】已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},定義函數(shù)f:M→N.若點(diǎn)A(1,f(1))、B(2,f(2))、C(3,f(3)),△ABC的外接圓圓心為D,且 ,則滿足條件的函數(shù)f(x)有( )
A.6個(gè)
B.10個(gè)
C.12個(gè)
D.16個(gè)
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【題目】已知點(diǎn)A(1,3)B(3,1),C(﹣1,0)求:
(1)求BC及BC邊上的中線所在直線的方程;
(2)求BC邊上的垂直平分線所在直線方程;
(3)求△ABC的面積.
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【題目】隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高,綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng),市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車卡借車,初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20積分,當(dāng)積分為0時(shí),借車卡將自動(dòng)鎖定,限制借車,用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個(gè)積分的形式再次激活該卡,為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行,同時(shí)督促市民盡快還車,方便更多的市民使用,公共自行車按每車每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分收費(fèi),具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下:
①租用時(shí)間不超過1小時(shí),免費(fèi);
②租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過2小時(shí),扣1分;
③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過3小時(shí),扣2分;
④租用時(shí)間超過3小時(shí),按每小時(shí)扣2分收費(fèi)(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).
甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用公共自行車一次,兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí),設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別是0.4和0.5;租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別是0.4和0.3.
(1)求甲、乙兩人所扣積分相同的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立,各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的.
(1)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;
(2)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;
(3)記ξ表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù),求ξ的分布列及期望.
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